Cho phương trình x^2+6x+2=0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức:

Vì \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( 5 \right)^2} - 4.1.2 = 17 > 0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_{1,}},{x_2}\).

Theo định lý Vi-et, ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 6}}{1} = - 6}\\{P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2}\end{array}} \right.\)

Ta có:

\[P = \frac{{{x_1}\sqrt {2x_1^2 + {x_1}{x_2}} + {x_2}\sqrt {2x_2^2 + {x_1}{x_2}} }}{{x_1^2 + x_2^2}}\]

Đặt B = \[x_1^2 + x_2^2 = {\left( {x_1^{} + x_2^{}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {( - 6)^2} - 2.2 = 32\]

Đặt \[A = {x_1}\sqrt {2x_1^2 + {x_1}{x_2}} + {x_2}\sqrt {2x_2^2 + {x_1}{x_2}} \].Từ S = -6, P = 2, \({x_{1,}},{x_2}\) < 0. A < 0

\[{A^2} = x_1^2\left( {2x_1^2 + {x_1}{x_2}} \right) + x_2^2\left( {2x_2^2 + {x_1}{x_2}} \right) + 2{x_1}{x_2}\sqrt {x_1^2x_2^2\left( {2{x_1} + {x_2}} \right)\left( {2{x_2} + {x_1}} \right)} \]

\[A = - \left( {2096 + 8\sqrt {74} } \right)\]

\[A = \frac{{ - \left( {2096 + 8\sqrt {74} } \right)}}{{32}}\]