Cho phương trình: x^2−4x−m2+4m=0(1). (a) Giải phương trình với m=−1. (b) Tìm giá trị của m để phương trình (1)có hai nghiệm x1,x2 sao cho

a) Với \[m = - 1\] phương trình đã cho trở thành \[{x^2} - 4x - 5 = 0\]\(\left( 2 \right)\)

Phương trình có các hệ số \(a = 1\), \(b = - 4\), \(c = - 5\).

Ta thấy \(a - b + c = 1 - \left( { - 4} \right) - 5 = 0\).

Do đó phương trình \(\left( 2 \right)\) có các nghiệm là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 5\).

Vậy với \[m = - 1\]thì phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 5\).

b) Ta có \(\Delta \prime = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - {m^2} + 4m} \right) = 4 + {m^2} - 4m = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\).

Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).

Theo định lý Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 4\) và \({x_1}{x_2} = - {m^2} + 4m\).

Ta có \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {4^2} - 2\left( { - {m^2} + 4m} \right) = 16 + 2{m^2} - 8m\).

\( = 2\left( {{m^2} - 4m + 8} \right) = 2\left[ {{{\left( {m - 2} \right)}^2} + 4} \right] = 2{\left( {m - 2} \right)^2} + 8 \ge 8\).

A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(8\).

Dấu “=” xảy ra khi \(m = 2\) (thoả mãn).

Vậy \(m = 2\) thì \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(8\).