Cho phương trình x^2−4x+m=0 với m là tham số. Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức

Xét phương trình \({x^2} - 4x + m = 0\) (\(a = 1,\,\,b = - 4,\,\,c = m\)).

\(\Delta = {b^2} - 4ac = {( - 4)^2} - 4.1.m = 16 - 4m.\)

Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta \ge 0\) hay \(16 - 4m \ge 0\) suy ra \(m \le 4.\)

Với \(m \le 4\), giả sử phương trình có hai nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\). Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - ( - 4)}}{1} = 4;\,\,\)\({x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{m}{1} = m.\) (1)

Theo đề ta có: \(A = x_1^3 + x_2^3 - 3{x_1}{x_2} + 4\)

\( = {({x_1} + {x_2})^3} - 3{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2}) - 3{x_1}{x_2} + 4\)

\( = {({x_1} + {x_2})^3} - 3{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2} + 1) + 4\) (2)

Thay (1) vào (2) ta có:

\(A = {4^3} - 3.m(4 + 1) + 4\)

\( = 65 - 12m\).

Vậy \(A = 65 - 12m\) với \(m \le 4.\)