Cho phương trình x^2−4x+2m+1=0 (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn

Xét phương trình \({x^2} - 4x + 2m + 1 = 0\) có:

\(\Delta ' = {( - 2)^2} - 1(2m + 1) = 3 - 2m\).

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}{\rm{, }}{x_2}\)thì:

\(\Delta ' > 0\) hay \(3 - 2m > 0\) suy ra \(m < \frac{3}{2}\).

Khi đó, áp dụng hệ thức Viète có: \({x_1} + {x_2} = 4\) và \({x_1}.{x_2} = 2m + 1\).

Ta có: \(x_1^2 + ({x_1} + {x_2}){x_2} = 4{m^2} + 3\)

\(x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = 4{m^2} + 3\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} = 4{m^2} + 3\)

\({\left( 4 \right)^2} - \left( {2m + 1} \right) = 4{m^2} + 3\)

\[4{m^2} + 2m - 12 = 0\]

\[2{m^2} + m - 6 = 0\]

\(\left( {2m - 3} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\)

\[m = \frac{3}{2}\] hoặc \[m = - 2\].

Kết hợp điều kiện ta được \(m = - 2\) là giá trị cần tìm.