Cho phương trình x^2−2mx+m^2−2=0 (xlà ẩn, mlà tham số) (1) 1) Với m=1, giải phương trình (1). 2) Tìm mđể phương trình có hai nghiệm x1;x2 sao cho x1=2x2.

Giải phương trình tìm được \({x_1} = 1 + \sqrt 2 \) và \({x_2} = 1 - \sqrt 2 \).

Phương trình \({x^2} - 2mx + {m^2} - 2 = 0\)\(\left( {a = 1;{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} b = - 2m{\kern 1pt} ;{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} c = {m^2} - 2} \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - {m^2} + 2 = 2 > 0\)

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Áp dụng định lí Vietè, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2\end{array} \right.\)

Theo đề bài, có: \[{x_1} = 2{x_2}\]. Thay vào \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2\end{array} \right.\)ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}2{x_2} + {x_2} = 2m\\2{x_2}{x_2} = {m^2} - 2\end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{{2m}}{3}\\2.{\left( {\frac{{2m}}{3}} \right)^2} = {m^2} - 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (*)\end{array} \right.\)

Giải (*) \(8{m^2} = 9m{}^2 - 18\)

Giải phương trình ta được \[{m_1} = 3\sqrt 2 \] và \[{m_2} = - 3\sqrt 2 \]

Vậy \(m \in \left\{ {3\sqrt 2 ; - 3\sqrt 2 } \right\}\)thì phương trình \[\left( 1 \right)\] có nghiệm \[{x_1} = 2{x_2}\].