Cho phương trình x^2−2(m−1)x+m^2−4=0. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1(x1−3)+x2(x2−3)=6

Ta có: \(\Delta ' = - 2m + 5\). Phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,,\,{x_2}\) khi: \(\Delta ' \ge 0\) hay \( - 2m + 5 \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{5}{2}\)

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\,\,\,\,\,\,(1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Theo bài ra, ta có: \({x_1}\left( {{x_1} - 3} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 3} \right) = 6\)

\(x_1^2 - 3{x_1} + x_2^2 - 3{x_2} = 6\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 6\) (3)

Thay (1), (2) vào (3), ta được:

\({\left( {2m - 2} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - 4} \right) - 3\left( {2m - 2} \right) = 6\)

\(4{m^2} - 8m + 4 - 2{m^2} + 8 - 6m + 6 = 6\)

\(2{m^2} - 14m + 12 = 0\)

\({m^2} - 7m + 6 = 0\)

Giải đúng \({m_1} = 1\) (thoả mãn) ; \({m_2} = 6\) (không thoả mãn)

Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.