Cho phương trình x^2−2(m−1)x+m^2−4=0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện:|x1−x2|=x1+x2.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta ' > 0\):

\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} - 4} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 4 = - 2m + 5\)

\( - 2m + 5 > 0\)

\(m < \frac{5}{2}\)

Theo định lý Vi-ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\,(1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\).

Từ giả thiết \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = {x_1} + {x_2}\).

Điều kiện để phương trình có nghĩa là \({x_1} + {x_2} \ge 0 \Rightarrow 2\left( {m - 1} \right) \ge 0 \Rightarrow m \ge 1\).

Bình phương hai vế của điều kiện: \({({x_1} - {x_2})^2} = {({x_1} + {x_2})^2}\)

\(x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2\)

\(4{x_1}{x_2} = 0\)

\({x_1}{x_2} = 0\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào ta được: \({m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) hoặc \(m = - 2\).

Ta thấy chỉ có \(m = 2\) thỏa mãn cả hai điều kiện trên.

Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.