Cho phương trình x^2+2(m−1)x+4m−11=0(1)với m là tham số. Giải phương trình (1) khi m = 2 và tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2thỏa mãn hệ thức

Thay m = 2 vào pt (1) ta được: \({x^2} + 2x - 3 = 0{\rm{ }}\)

Ta có a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0 nên phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = -3

Vậy với m = 2 thì phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = -3

Ta có a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0 nên phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = -3

Vậy với m = 2 thì phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = -3

(vì \({(m - 3)^2} \ge 0\) và 3 > 0)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)với mọi m

Áp dụng định lí Vietè ta có:

\(x{}_1 + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 2(m - 1)}}{1} = - 2(m - 1);{\rm{ }}{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{4m - 11}}{1} = 4m - 11\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}2{({x_1} - 1)^2} + (6 - {x_2})({x_1}{x_2} + 11) = 72\\2({x_1}^2 - 2{x_1} + 1) + (6 - {x_2})(4m - 11 + 11) = 72\\2({x_1}^2 - 2{x_1} + 1) + (6 - {x_2})4m = 72(2)\end{array}\)

Vì x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1) nên ta có

\(\begin{array}{l}{x_1}^2 + 2(m - 1){x_1} + 4m - 11 = 0\\{x_1}^2 + 2m{x_1} - 2{x_1} + 4m - 11 = 0\\{x_1}^2 - 2{x_1} + 1 = - 2m{x_1} - 4m + 12\end{array}\)

Thay vào (2) ta được:

\[\begin{array}{l}2( - 2m{x_1} - 4m + 12) + (6 - {x_2})4m = 72\\ - 4m{x_1} - 8m + 24 + 24m - 4m{x_2} - 72 = 0\\ - 4m({x_1} + {x_2}) + 16m - 48 = 0\\ - 4m[ - 2(m - 1)] + 16m - 48 = 0\\8{m^2} - 8m + 16m - 48 = 0\\8{m^2} + 8m - 48 = 0\\{m^2} + m - 6 = 0\\m = - 3;m = 2\end{array}\]

Vậy m = -3; m = 2.