Cho phương trình x^2−2(m−1)x+2m−5=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {(m - 1)^2} - (2m - 5)\\ = {m^2} - 4m + 6 = {(m - 2)^2} + 2 > 0\forall m\end{array}\)

Vậy phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}.{x_2} = 2m - 5\end{array} \right.\)

Vì \({x_1},{x_2}\)là hai nghiệm của phương trình nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}^2 - 2(m - 1){x_1} + 2m - 5 = 0\\{x_2}^2 - 2(m - 1){x_2} + 2m - 5 = 0\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 = 2(2 - {x_1})\\{x_2}^2 - 2m{x_2} + 2m - 1 = 2(2 - {x_2})\end{array} \right.\)

Kết hợp đề bài \(({x_1}^2 - 2m{x_1} - {x_2} + 2m - 1)({x_2}^2 - 2m{x_2} - {x_1} + 2m - 1) < 0\)

Suy ra \((2 - {x_1})(2 - {x_2}) < 0\)

\(4 - 2({x_1} + {x_2}) + {x_1}{x_2} < 0\)

\(3 - 4m < 0\) suy ra \(m > \frac{3}{4}\)