Cho phương trình x^2−11x+18=0. Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1,x2và không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức Q=x2+√x1+7 với x1>x2.

\({x^2} - 11x + 18 = 0\) (1)

Ta có: \(\Delta = {( - 11)^2} - 4.1.18 = 49\)

Vì \(\Delta > 0\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) (đpcm).

Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 11\\{x_1}{x_2} = 18\end{array} \right.\)

Suy ra \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai số dương.

Vì \({{\rm{x}}_{\rm{1}}}\)là nghiệm của phương trình \({x^2} - 11x + 18 = 0\)

nên \(x_1^2 - 11{x_1} + 18 = 0\)

\(\begin{array}{l}x_1^2 - 10{x_1} + 25 = {x_1} + 7\\{({x_1} - 5)^2} = {x_1} + 7\end{array}\)

Vì \({x_1} > {x_2} > 0\) và \({x_1} + \,{x_2} = 11\) nên \({x_1} > \,\,5\)

Suy ra \(\sqrt {{x_1} + 7} = {x_1} - 5\)

Khi đó \(Q = {x_2} + {x_1} - 5 = 11 - 5 = 6\).