Cho phương trình x^2 - mx + m - 2 = 0 (1) (x) là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị \(m\).

Ta có: \[\Delta  = {m^2} - 4\left( {m - 2} \right) = {m^2} - 4m + 8 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0\,\,\,\forall m\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

b) Định \(m\) để hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) của (1) thỏa mãn \[\frac{{{x_1}^2 - 2}}{{{x_1} - 1}}.\frac{{{x_2}^2 - 2}}{{{x_2} - 1}} = 4\].

Vì \[a + b + c = 1 - m + m - 2 =  - 1 \ne 0\,\,\,\forall m\] nên phương trình (1) có 2 nghiệm \[{x_1};{x_2} \ne 1,\forall m\]

Phương trình (1) tương đương với \[{x^2} - 2 = mx - m\].

Ta có: \[\frac{{{x_1}^2 - 2}}{{{x_1} - 1}}.\frac{{{x_2}^2 - 2}}{{{x_2} - 1}} = 4\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{m{x_1} - m}}{{{x_1} - 1}}.\frac{{m{x_2} - m}}{{{x_2} - 1}} = 4\]

\[ \Leftrightarrow m.m = 4 \Leftrightarrow m =  \pm 2\].

Vậy \(m =  \pm 2\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.