Cho phương trình: x2 − mx + m − 1 = 0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn: x12 + 3x1x2 = 3x2 + 3m + 16.

• Xét phương trình: x² − mx+ m − 1=0(1)

Ta có: ∆ = m² − 4(m − 1) = m² − 4m + 4 = (m − 2)²

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0

Hay (m − 2)² > 0 <=> m ≠ 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=mx1x2=m−1⇔x1=m−x2m−x2x2=m−1⇔x1=m−x2x22−mx2+m−1=0⇔x1=m−x2x2−1x2+1−mx2−1=0⇔x1=m−x2x2−1x2+1−m=0⇔x1=m−x2x2=1x2=m−1⇔x1=m−1x2=1x1=1x2=m−1

• Xét phương trình: x₁² + 3x₁x₂ = 3x₂ + 3m + 16 (2)

+) TH1: x1=m−1x2=1

Khi đó phương trình (2) trở thành:

(2) <=> (m − 1)² + 3(m − 1) = 3 + 3m + 16

<=> m² − 2m − 21 = 0

⇔m=1+22m=1−22

+) TH2: x1=1x2=m−1

Khi đó phương trình (2) trở thành:

(2) <=> 1² + 3(m − 1) = 3(m − 1) + 3m + 16

<=> 3m + 15 = 0

<=> m = −5.

Vậy m=1±22 và m = −5 là các giá trị của m thỏa mãn.