Cho phương trình x^2 − mx − 3 = 0 ( với m là tham số)

Ta có \[\Delta  = {\left( { - m} \right)^2} - 4.\;1.\;\left( { - 3} \right)\]\[ = {m^2} + 12\]

Do \[\Delta  > 0\] với \[\forall \,\,m \in \mathbb{R}\] do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}\],\[{x_2}\].

Theo định lý Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} =  - 3\end{array} \right.\]

Vì \[{x_2}\] là nghiệm của phương trình đã cho nên \[x_2^2 - m{x_2} - 3 = 0\] hay \[x_2^2 = m{x_2} + 3\]

Khi đó \[H = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 5}}{{m{x_2} + 3 + m{x_1} - {x_1}{x_2}}}\]\[ = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 5}}{{m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3 - {x_1}{x_2}}}\]\[ = \frac{{2m + 5}}{{{m^2} + 6}}\]

Ta có \[H - 1 = \frac{{2m + 5}}{{{m^2} + 6}} - 1\]\[ = \frac{{2m + 5 - {m^2} - 6}}{{{m^2} + 6}}\]\[ = \frac{{ - {m^2} + 2m - 1}}{{{m^2} + 6}}\]\[ = \frac{{ - {{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 6}}\]

Vì \[ - {\left( {m - 1} \right)^2} \le 0\], \[{m^2} + 6 > 0\] với \[\forall \,\,m \in \mathbb{R}\] nên \[\frac{{ - {{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 6}} \le 0\] hay \[H - 1 \le 0\] do đó \[H \le 1\]

Dấu \['' = ''\] xảy ra khi và chỉ khi \[m = 1\].

Vậy \[m = 1\] thì \[H = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 5}}{{x_2^2 + m{x_1} - {x_1}{x_2}}}\] đạt giá trị lớn nhất là \[1\].