Cho phương trình x^2 − mx + 2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 thỏa mãn (x1)^2. x2 − 6x1 + x2 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = (x1)^2 + (x2)^2

3/9

Cho phương trình ${x^2} - mx + 2 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $\frac{{x_1^2}}{{{x_2}}} - 6{x_1} + {x_2} = 0$. Tính giá trị của biểu thức $P = x_1^3 + x_2^3$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

${x^2} - mx + 2 = 0$

$\Delta = {\left( { - m} \right)^2} - 4 \cdot 2 = {m^2} - 8$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$ suy ra ${m^2} - 8 > 0$ nên ${m^2} > 8$

$m > 2\sqrt 2 $ hoặc $m < - 2\sqrt 2 $

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = 2\end{array} \right.$

$\frac{{x_1^2}}{{{x_2}}} - 6{x_1} + {x_2} = 0$

$x_1^2 - 6{x_1}{x_2} + x_2^2 = 0$ (*)

Thay ${x_1}{x_2} = 2$vào phương trình (*) ta được:

$x_{1}^{2} - 12 + x_{2}^{2} = 0$

$x_1^2 + x_2^2 = 12$

${({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = 12$

${m^2} - 4 = 12$

${m^2} = 16$

$m = 4$ (TM) hoặc $m = - 4$ (loại)

Khi đó, ta có $P = x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$$ = {m^3} - 3 \cdot 2 \cdot m$$ = {m^3} - 6m$.

Thay $m = 4$vào biểu thức $P$ ta có: $P = {4^3} - 6 \cdot 4 = 64 - 24 = 40$.

Vậy $P = 40$.