Cho phương trình x^2 – mx + 1 = 0. Chứng minh rằng với m là số nguyên thì x1^5 + x2^5 là số nguyên.

Gỉa sử:

Ta có: x₁ + x₂ = S và x₁x₂ = P

x₁⁵ + x₂⁵

= (x₁³ + x₂³)(x₁² + x₂²) - x₁²x₂² (x₁ + x₂)

= (S³ – 3SP)(S² – 2P) – SP² (*)

Mà theo hệ thức Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S = m\\{x_1}{x_2} = P = 1\end{array} \right.\]

Khi đó thay vào (*) ta được:

x₁⁵ + x₂⁵

= (m³ – 3m)(m² – 2) – m

= m⁵ – 2m³ – 3m³ + 6m – m

= m⁵ – 2m³ – 3m³ + 5m

Ta thấy giá trị biểu thức x₁⁵ + x₂⁵ phụ thuộc vào giá trị của m

 Nên nếu m là số nguyên thì m⁵ – 2m³ – 3m³ + 5m cũng là số nguyên

Vậy với m là số nguyên thì x₁⁵ + x₂⁵ là số nguyên.