Cho phương trình x^2 - ( m + 5 )x + 3m + 6 = 0 (x là ẩn số).

2a)

Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\).

0,5

Ta có \[\Delta  = {\left( {m + 5} \right)^2} - 4.\left( {3m + 6} \right) = {m^2} + 10m + 25 - 12m - 24\]

\[ = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2}\]

0,25

Vì \[{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m\] nên \(\Delta  \ge 0,\forall m\)

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\).

0,25

2b)

Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5.

0,5

Vì \(\Delta  \ge 0,\forall m\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm là:

\({x_1} = \frac{{m + 5 - \left( {m - 1} \right)}}{2} = 3\); \({x_2} = \frac{{m + 5 + \left( {m - 1} \right)}}{2} = m + 2\).

Để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5 thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 3 > 0\\{x_2} = m + 2 > 0\\x_1^2 + x_2^2 = {5^2}\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

0,25

Giải \(\left( * \right)\): \(x_1^2 + x_2^2 = {5^2}\)

\( \Leftrightarrow {3^2} + {\left( {m + 2} \right)^2} = 25\)

\( \Leftrightarrow 9 + {m^2} + 4m + 4 = 25\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 6m - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) + 6\left( {m - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 6} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\left( {tm} \right)\\m =  - 6\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Kết luận: \(m = 2\) là giá trị cần tìm.

0,25