Cho phương trình \({x^2} + (m - 2)x + m - 3 = 0\)

Ta có \[\Delta  = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4(m - 3) = {m^2} - 8m + 16 = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow {(m - 4)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 4\)

Theo định lí vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 - m\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)

 \(A = 2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 3 = 6{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 3\)\( =  - {m^2} + 10m - 19\)

\( \Rightarrow A = 6 - {(m - 5)^2} \le 6,\,\,\forall m\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa điều kiện \(m \ne 4\))

Vậy \(A\) đạt giá trị lớn nhất là \(Max\,A = 6\) khi \(m = 5\).