Cho phương trình x2 + (m – 1)x – 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1). Có bao nhiêu giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(\frac{1}{{{{\rm{x}}_1} - 1}} + \frac{1}{{{

Đáp án: 1

Ta có: \(\Delta\) = (m – 1)² + 4(2m + 3) = m² – 2m + 1 + 8m + 12 = m² + 6m + 13 = (m + 3)² + 4.

Vì (m + 3)² + 4 > 0 với mọi giá trị m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Vì a + b + c = 1 + m – 1 – 2m – 3 = –m – 3 ≠ 0.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm x₁ ≠ 0, x₂ ≠ 0.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 1 – m; x₁x₂ = –2m – 3.

Ta có: \(\frac{1}{{{{\rm{x}}_1} - 1}} + \frac{1}{{{{\rm{x}}_2} - 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\)

\(\frac{{{{\rm{x}}_2} - 1 + {{\rm{x}}_1} - 1}}{{\left( {{{\rm{x}}_1} - 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} - 1} \right)}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\)

\(\frac{{{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1} - 2}}{{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} - \left( {{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1}} \right) + 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\;\,\left( 2 \right)\)

Thay x₁ + x₂ = 1 – m; x₁x₂ = –2m – 3 vào (2) ta có:

\(\frac{{1 - {\rm{m}} - 2}}{{ - 2{\rm{m}} - 3 - \left( {1 - {\rm{m}}} \right) + 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\)

\(\frac{{ - 1 - {\rm{m}}}}{{ - {\rm{m}} - 3}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\) (với m ≠ –3 (*))

\(\frac{{1 + {\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 3}} - \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2} = 0\)

2(m + 1) – (m + 1)(m + 3) = 0

(m +1)(m + 3 – 2) = 0

(m +1)² = 0

m = –1 (thỏa mãn (*)).

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.