Cho phương trình \({x^2} + \left( {m - 8} \right)x + 3m + 9 = 0\). Tìm giá trị của m để phương trình đã

\({x^2} + \left( {m - 8} \right)x + 3m + 9 = 0\)

\(\Delta  = {\left( {m - 8} \right)^2} - 4.1.\left( {3m + 9} \right) = {m^2} - 16m + 64 - 12m - 36 = {m^2} - 28m + 28\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)\(\Delta  > 0\) \( \Leftrightarrow \)\({m^2} - 28m + 28 > 0\) \(\left( * \right)\)

Khi đó theo Vi-ét, ta có: \({x_1} + {x_2} = 8 - m\);  \({x_1}{x_2} = 3m + 9\)

Theo đề \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 25\)

\({x_1}^2 + {x_2}^2 = 25\) \( \Leftrightarrow \)\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 25\)

\( \Leftrightarrow \)\({\left( {8 - m} \right)^2} - 2\left( {3m + 9} \right) = 25\)

\( \Leftrightarrow \)\(64 - 16m + {m^2} - 6m - 18 = 25\)

\( \Leftrightarrow \)\({m^2} - 22m + 21 = 0\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1           \left( {tho\^u a \left( * \right)} \right) }\\{m = 21  \left( {kho\^a ng tho\^u a \left( * \right)} \right) }\end{array}} \right.\)

Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.

Chú ý: \(\Delta  > 0\). Có thể trình bày \(\Delta  > 0\) \( \Leftrightarrow \)\({m^2} - 28m + 28 > 0\) \( \Leftrightarrow \)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 14 - 2\sqrt {42} }\\{m > 14 + 2\sqrt {42} }\end{array}} \right.\) \(\left( * \right)\)