Cho phương trình \[{x^2} + bx - 7 + 2b = 0\,( 1 ] (ẩn x), với b là tham số nguyên.

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\]. Tìm \[b\] để \[x_2^2 = 9{x_1}\].

+) Ta có: \[\Delta = {b^2} - 4.1.( - 7 + 2b) = {b^2} - 8b + 28\]\[ = {(b - 4)^2} + 12 \ge 12 > 0\]\[\forall b\]

\[ \Rightarrow \] (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\].

+) \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - b\\{x_1}.{x_2} = 2b - 7\end{array} \right.( * )\]

Với \[x_2^2 = 9{x_1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} + \frac{{x_2^2}}{9} = - b\\\frac{{x_2^2}}{9} \cdot {x_2} = 2b - 7\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_2} + \frac{{2x_2^2}}{9} = - 2b\\\frac{{x_2^2}}{9} \cdot {x_2} = 2b - 7\end{array} \right.\]

Cộng vế theo vế ta được: \[2{x_2} + \frac{{2x_2^2}}{9} + \frac{{x_2^3}}{9} = - 7\]

                                   \[ \Leftrightarrow x_2^3 + 2x_2^2 + 18{x_2} + 63 = 0\]

                       \[ \Leftrightarrow ({x_2} + 3).(x_2^2 - {x_2} + 21) = 0\]

                                   \[ \Leftrightarrow {x_2} = - 3\]

                       \[ \Rightarrow {x_1} = \frac{{x_2^2}}{9} = 1\]

\[( * ) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 = - b\\ - 3 = 2b - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow b = 2 \in \mathbb{Z}\] (thỏa mãn)

b) Chứng minh rằng nếu \[b\] là số nguyên lẻ thì phương trình (1) không có nghiệm hữu tỉ.

 

Cách 1: Nếu \[b\] lẻ \[ \Rightarrow \]\[b - 4\] lẻ

Đặt \[b - 4 = 2k + 1\]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Ta cần chứng minh \[\Delta \] không là số chính phương.

Phản chứng: \[\Delta \] là số chính phương

\[ \Rightarrow \] Đặt \[{\left( {2k + 1} \right)^2} + 12 = {m^2} \Rightarrow m\] lẻ

Đặt \[m = 2l + 1 \Rightarrow \Delta = 4{k^2} + 4k + 13 = 4{l^2} + 4l + 1\]

\[ \Rightarrow {k^2} + k + 3 = {l^2} + l\] (vô lí)

Vậy \[\Delta \] không là số chính phương \[ \Rightarrow \](1) không có nghiệm hữu tỉ.

 

Cách 2: Giả sử (1) có nghiệm hữu tỉ, gọi là: \[\frac{p}{q}\left( {p \in \mathbb{Z},q \in \mathbb{N}*,(p,q) = 1} \right)\].

Theo tính chất về nghiệm hữu tỉ của đa thức nguyên, ta có \[q|1\] và \[p|2b - 7\]\[ \Rightarrow q = 1\] và \[p\] lẻ.

Hơn nữa, do \[q = 1\] nên \[p\] là nghiệm nguyên của (1) \[ \Rightarrow {p^2} + bp - 7 + 2b = 0\].

Mà điều này là vô lí do \[{p^2} + bp - 7 + 2b\] lẻ \[ \Rightarrow \] Điều giả sử là sai hay (1) không có nghiệm hữu tỉ.

 

Cách 3: Đặt \[{b^2} - 4.(2b - 7) = {a^2},a \in \mathbb{N}\](*)

Nếu \[b\] lẻ \[ \Rightarrow \] VP lẻ \[ \Rightarrow \]a lẻ

Từ (*) \[ \Rightarrow {b^2} - {a^2} = 4.(2b - 7)\]

Vì a, b đều lẻ nên \[{a^2},{b^2} \equiv 1\]\[(\bmod 8)\]

\[ \Rightarrow 8|{a^2} - {b^2}\]

Mà\[4.(2b - 7)\] không chia hết cho 8 (Do \[2b - 7\] lẻ).

\[ \Rightarrow \] Mâu thuẫn

Vây khi \[b\] là số nguyên lẻ thì phương trình không thể có nghiệm hữu tỉ.