Cho phương trình x^2 − 9x + 11 = 0 có hai nghiệm dương x1, x2 và x2 > x1. Không giải phương trình, hãy tính M = x1 + căn bậc hai của x2 + 5.

Cho phương trình \({x^2} - 9x + 11 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\).

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 9}\\{{x_1}{x_2} = 11}\end{array}} \right.\)

Do \({x_2}\) là nghiệm của phương trình nên:

\[{x_2}^2 - 9{x_2} + 11 = 0\]

\[{x_2}^2 - 8{x_2} + 16 = {x_2} + 5\]

\[{\left( {{x_2} - 4} \right)^2} = {x_2} + 5\]

\[\left| {{x_2} - 4} \right| = \sqrt {{x_2} + 5} \]

Do \({x_1} + {x_2} = 9\) mà \({x_2} > {x_1}\) nên \({x_2} + {x_2} > 9\) hay \({x_2} > 4,5 > 4\)

Nên \[\sqrt {{x_2} + 5}  = {x_2} - 4\]

Khi đó: \(M = {x_1} + \sqrt {{x_2} + 5}  = {x_1} + {x_2} - 4 = 9 - 4 = 5\)
Vậy \(M = 5\)