Cho phương trình x2 – 7x + 4 = 0 (1) có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị của biểu thức \({\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4\).
Đáp án: 1649
Vì \(\Delta\) = (–7)2 – 4.1.4 = 33 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right)}}{1} = 7;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{4}{1} = 4\).
Ta có: \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {7^2} - 2 \cdot 4 = 41\).
Lại có: \({\left( {{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2} \right)^2} = {\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4 + 2{\left( {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} \right)^2} = {\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4 + 2 \cdot {4^2} = {\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4 + 32.\)
Suy ra: \({\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4 = {\left( {{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2} \right)^2} - 32 = {41^2} - 32 = 1649.\)
Vậy giá trị biểu thức \({\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4\) bằng 1649.