Cho phương trình x^2 − 7x + 2 = 0 .

3/9

Cho phương trình \[{x^2} - 7x + 2 = 0\].

a) Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\].

b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức: \[T = \sqrt {x_1^2 + 2{x_1} + 1} + \sqrt {2x_2^2 - {x_2} + 11} \].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Xét phương trình \[{x^2} - 7x + 2 = 0\] có \[\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2 = 41 > 0\] nên phương trình bài ra có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\].

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 7 > 0\\{x_1}.{x_2} = 2 > 0\end{array} \right.\] nên \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm dương phân biệt.

Vì \[{x_2}\] là nghiệm phương trình \[{x^2} - 7x + 2 = 0\] nên ta có: \[x_2^2 - 7{x_2} + 2 = 0\] hay \[x_2^2 = 7{x_2} - 2\]

Suy ra: \[2x_2^2 - {x_2} + 11 = x_2^2 - {x_2} + 11 + x_2^2 = x_2^2 - {x_2} + 11 + 7{x_2} - 2\]\[ = x_2^2 + 6{x_2} + 9 = {\left( {{x_2} + 3} \right)^2}\]

Khi đó: \[T = \sqrt {{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {{x_2} + 3} \right)}^2}} = \left| {{x_1} + 1} \right| + \left| {{x_2} + 3} \right|\]\[ = {x_1} + 1 + {x_2} + 3\] ( vì \[{x_1},{x_2} > 0 \Rightarrow {x_1} + 1 > 0,{x_2} + 3 > 0\]) hay \[T = {x_1} + {x_2} + 4 = 11\].

Vậy \[T = 11\].