Cho phương trình x^2 - 6x + m = 0. Biết phương trình trên có một nghiệm là x = 5/2. Tính giá trị của biểu thức M = (x1 - 1) / (x2 + 2) + (x2 - 1) / (x1 + 2).

Cho phương trình \({x^2} - 6x + m = 0\). Biết phương trình trên có một nghiệm là \(x = \frac{5}{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(M = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 2}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 2}}\)

Vì \(x = \frac{5}{2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 6x + m = 0\), ta thay \(x = \frac{5}{2}\) vào phương trình: \({\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 6\left( {\frac{5}{2}} \right) + m = 0\)

\(\frac{{25}}{4} - 15 + m = 0\)

\(\frac{{25}}{4} - \frac{{60}}{4} + m = 0\)

\(\begin{array}{l} - \frac{{35}}{4} + m = 0\\m = \frac{{35}}{4}\end{array}\)

Khi đó phương trình trở thành: \({x^2} - 6x + \frac{{35}}{4} = 0\).

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 6}\\{{x_1} \cdot {x_2} = \frac{{35}}{4}}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(M = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 2}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 2}}\)

\(M = \frac{{({x_1} - 1)({x_1} + 2) + ({x_2} - 1)({x_2} + 2)}}{{({x_2} + 2)({x_1} + 2)}}\)

\(M = \frac{{(x_1^2 + {x_1} - 2) + (x_2^2 + {x_2} - 2)}}{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}\)

\(M = \frac{{(x_1^2 + x_2^2) + ({x_1} + {x_2}) - 4}}{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}\)

\(M = \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2} + ({x_1} + {x_2}) - 4}}{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}\)

Thay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 6}\\{{x_1} \cdot {x_2} = \frac{{35}}{4}}\end{array}} \right.\)vào biểu thức \(M\):

\(M = \frac{{{6^2} - 2.\frac{{35}}{4} + 6 - 4}}{{\frac{{35}}{4} + 2.6 + 4}} = \frac{{\frac{{41}}{2}}}{{\frac{{99}}{4}}} = \frac{{82}}{{99}}\)

Vậy \(M = \frac{{82}}{{99}}\).