Cho phương trình x^2 − 5x + m − 3 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: x1^2 − 2x1x2 + 3x2 = 1.

11

Cho phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức: \({x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1\).

Xét phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\)

Ta có: \(\Delta = 37 - 4m\)

Để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thì điều kiện là:

\(\Delta \ge 0 \Rightarrow 37 - 4m \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{{37}}{4}\) (*)

Với điều kiện (*), áp dụng định lí Viète cho phương trình (1), ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\;\;\;\,\,\,\,\,(1)\\{x_1}.{x_2} = m - 3\;\;\;(2)\end{array} \right.\]

Theo bài ra, ta có \(x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1\)     (3)

Từ (1) suy ra : \({x_2} = 5 - {x_1}\) thế vào (3) ta được :

\({x_1}^2 - 2{x_1}\left( {5 - {x_1}} \right) + 3\left( {5 - {x_1}} \right) = 1\)

\(3{x_1}^2 - 13{x_1} + 14 = 0\)

\(\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {3{x_1} - 7} \right) = 0\)

\( \Rightarrow {x_1} = 2\) hoặc \({x_1} = \frac{7}{3}\)

Với \({x_1} = 2\) thì \({x_2} = 3\), thế vào (2) ta được: \(m = 9\) (thỏa mãn)

Với \({x_1} = \frac{7}{3}\) thì \({x_2} = \frac{8}{3}\), thế vào (2) ta được: \(m = \frac{{83}}{9}\) (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị của \(m\)thỏa mãn là: \(m = 9\) và \(m = \frac{{83}}{9}\).

0,25

0,25

0,25

0,25