Cho phương trình x^2 − 4x − 26 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2. Giá trị của biểu thức P = (x1^2 + 4x2 − 27)^2 − x1^3 + x2^3 có dạng a + b căn bậc hai của 30 với a, b ∈ N*. Tính

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} =  - 26\end{array} \right.\).

Ta cũng có \(x_1^2 - 4{x_1} - 26 = 0\) nên \(x_1^2 + 4{x_1} - 27 = 4{x_1} + 4{x_2} - 1 = 15\).

Lại có \({\left( {x_1^{} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 120\) nên \({x_1} - {x_2} =  - 2\sqrt {30} \) (vì \({x_1} < {x_2}\)).

\(x_1^3 - x_2^3 = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^3} + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) =  - 84\sqrt {30} \).

Do đó, \(P = {15^2} - \left( { - 84\sqrt {30} } \right) = 225 + 84\sqrt {30} \)

Suy ra \(a = 225;\,\,b = 84.\)

Vậy \(a + b = 225 + 84 = 309\).