Cho phương trình x^2 − 4x + 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 (x1 > x2). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức P = (x2 + 3) · căn bậc hai của (x1^2 + 2x2 − 7 − x1^2).

Ta có \(\Delta ' = {( - 2)^2} - 1.1 = 3 > 0\), do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1} \cdot {x_2} = 1\end{array} \right.\).

Vì \({x_1} + {x_2} = 4\) và \({x_1} > {x_2}\) nên ta suy ra \({x_1} > 2\).

Suy ra \({x_1} - 1 > 0\).

Từ hệ thức Vi-ét, ta có \(2{x_2} = 2\left( {4 - {x_1}} \right) = 8 - 2{x_1}\).

Thay vào biểu thức dưới dấu căn, ta được:

\(x_1^2 + 2{x_2} - 7 = x_1^2 + \left( {8 - 2{x_1}} \right) - 7 = x_1^2 - 2{x_1} + 1 = {\left( {{x_1} - 1} \right)^2}\).

Do \({x_1} - 1 > 0\) nên ta có:

\(\sqrt {x_1^2 + 2{x_2} - 7}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}  = \left| {{x_1} - 1} \right| = {x_1} - 1\).

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình nên \(x_1^2 - 4{x_1} + 1 = 0\).

Suy ra \(x_1^2 = 4{x_1} - 1\).

Thay \(\sqrt {x_1^2 + 2{x_2} - 7}  = {x_1} - 1\) và \(x_1^2 = 4{x_1} - 1\) vào biểu thức \(P\), ta được:

\(P = \left( {{x_2} + 3} \right)\left( {{x_1} - 1} \right) - \left( {4{x_1} - 1} \right)\)

\(P = \left( {{x_1}{x_2} - {x_2} + 3{x_1} - 3} \right) - 4{x_1} + 1\)

\(P = {x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2} - 2\)

\(P = {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\)

\(P = 1 - 4 - 2 =  - 5\).

Vậy giá trị của biểu thức là \(P =  - 5\).