Cho phương trình: x^2 − 4x + 1 = 0 có 2 nghiệm dương x1, x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức: A = (x1^2 + 4x2) . | căn bậc hai của 14x1 + 24 − căn bậc hai của 11x2

Do phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) nên theo định lí Vietes ta có \({x_1} + {x_2} = 4;\,\,{x_1}{x_2} = 1\).

Vì \({x_1}\) là ngiệm của phương trình nên ta có: \({x_1}^2 - 4{x_1} + 1 = 0 \to {x_1}^2 = 4{x_1} - 1\)

Ta có \[{x_1}^2 + 4{x_2} = 4{x_1} + 4{x_2} - 1 = 4.\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 1 = 4.4 - 1 = 15\]

Ta có  :

\(14{x_1} + 24 = \left( {{x_1}^2 + 10{x_1} + 25} \right) - \left( {{x_1}^2 - 4{x_1} + 1} \right) = {x_1}^2 + 10{x_1} + 25 = {\left( {{x_1} + 5} \right)^2}\)

Vì \({x_2}\) là ngiệm của phương trình nên ta có: \({x_2}^2 - 4{x_2} + 1 = 0\)

Ta có  : \[11{x_2}^2 - 2{x_2} + 3 = 9{x_2}^2 + 6{x_2} + 1 + 2\left( {{x_2}^2 - 4{x_2} + 1} \right) = {\left( {3{x_2} + 1} \right)^2}\]

Suy ra

\[\begin{array}{l}\left| {\sqrt {14{x_1} + 24}  - \sqrt {11{x_2}^2 - 2{x_2} + 3} } \right| = \left| {{x_1} + 5 - 3{x_2} - 1} \right| = \left| {{x_1} + {x_1} + {x_2} - 3{x_2}} \right|\\ = 2\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = 4\sqrt 3 \end{array}\]

Vậy \[A = 60\sqrt 3 \]