Cho phương trình \({x^2} + 3x + m + 1 = 0\) ( \(m\) là tham số).

a. Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm.

Do \(a = 1 \ne 0\) nên phương trình (1) là phương trình bậc 2

Ta có \({\rm{\Delta }} = {3^2} - 4.1\left( {m + 1} \right) = 9 - 4m - 4 = 5 - 4m\)

Để phương trình có 2 nghiệm thì \({\rm{\Delta }} \ge 0 \Leftrightarrow 5 - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{5}{4}\)

Vậy \(m \le \frac{5}{4}\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm.

b. Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\)

Theo a, với \(m \le \frac{5}{4}\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Viet ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - 3}\\{{x_1}{x_2} = m + 1}\end{array}} \right.\)

Ta có \(P = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\)

\( = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\)

\( = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 + 7m + {x_1}{x_2}\)

\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} + 7m\)

\( = {( - 3)^2} + m + 1 + 7m\)

\( = 8m + 10\)

\( \Rightarrow P = 8m + 10\)

Với \(m \le \frac{5}{4} \Rightarrow 8m \le 10 \Rightarrow 8m + 10 \le 20 \Leftrightarrow P \le 20\)

Vậy GTLN của \(P = 20\) khi \(m = \frac{5}{4}\).