Cho phương trình x^2 − 3x + a = 0 có một nghiệm là x = (3 + căn bậc hai của 5)/2. Tính tổng lập phương hai nghiệm của phương trình đã cho.

Xét phương trình \({x^2} - 3x + a = 0\) (1) có dạng phương trình bậc 2 ẩn \(x\)

Xét \(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4a = 9 - 4a\)

Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta  \ge 0\)

\(9 - 4a \ge 0\)

\(a \le \frac{9}{4}\)

Với \(a \le \frac{9}{4}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)

Áp dụng định lý Vi-et, ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}\,.\,{x_2} = a\end{array} \right.\)

Theo đề bài, phương trình có một nghiệm \(x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\), nghiệm còn lại là

\(x = 3 - \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)

Khi đó \({x_1}\,.\,{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \cdot \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = 1\)

Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình là

\({x_1}^3 + {x_2}^3\)\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}.{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\( = {3^3} - 3.1.3\)

\( = 18\)

Vậy tổng lập phương hai nghiệm của phương trình là \(18\).