Cho phương trình: x^2 − 3x + 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức: P = 5 + 26x1 + 19x2 + 3 căn bậc hai của 20x2 − 5 căn bậc hai của 57x1 + 16 + 2x2.

c) 1,0đ

Ta có: \(\Delta = {( - 3)^2} - 4.1.1 = 5 > 0\) nên PT có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\)

Theo định lí Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\, > 0\\{x_1}.{x_2} = 1\,\, > 0\end{array} \right.\)

Suy ra: \({x_1} = 3 - {x_1};\,\,{x_2}\, = 3 - {x_2}\,v\`a \,\,{x_1};\,{x_2}\, > 0\)

0,25

Vì x₁ là nghiệm của PT nên \({x_1}^2 - 3{x_1} + 1 = 0\,\,Suy\,ra:\,\,9x_1^2 + 9 = 27{x_1}\)

Ta có:\(57{x_1} + 16 = 30{x_1} + 16 + \,9x_1^2 + 9 = {(3{x_1} + 5)^2}\)

Suy ra: \(\sqrt {57{x_1} + 16} + 2{x_2} = \sqrt {{{(3{x_1} + 5)}^2}} + 2{x_2} = 3{x_1} + 5 + 2{x_2}\)

0,25

Vì x₂ là nghiệm của PT nên \({x_2}^2 - 3{x_2} + 1 = 0\,\,\)

Suy ra: \({x_2}({x_2}^2 - 3{x_2} + 1) = 6({x_2}^2 - 3{x_2} + 1) = 0\,\,\)

Hay: \({x_2}^3 - 3{x^2}_2 + {x_2} = 6{x_2}^2 - 18{x_2} + 6 = 0\,\,\)

Suy ra: \({x_2}^3 + 3{x^2}_2 - 17{x_2} + 6 = 0\,\,\)

Ta có: \(20{x_2} - 5 = 20{x_2} - 5 + {x_2}^3 + 3{x^2}_2 - 17{x_2} + 6 = {x_2}^3 + 3{x^2}_2 + 3{x_2} + 1\, = {({x_2} + 1)^3}\)

Suy ra: \(\sqrt[3]{{20{x_2} - 5}} = \sqrt[3]{{{{({x_2} + 1)}^3}}} = {x_2} + 1\)

0,25

Ta có:

 \(\begin{array}{l}P = \frac{{5 + 26{x_1} + 19{x_2} + \sqrt[3]{{20{x_2} - 5}}}}{{\sqrt {57{x_1} + 16} + 2{x_2}}} = \frac{{5 + 26{x_1} + 19{x_2} + {x_2} + 1}}{{3{x_1} + 5 + 2{x_2}}}\\ = \frac{{26{x_1} + 20(3 - {x_1}) + 6}}{{3{x_1} + 5 + 2(3 - {x_1})}} = \frac{{6{x_1} + 66}}{{{x_1} + 11}} = \frac{{6({x_1} + 11)}}{{{x_1} + 11}} = 6\end{array}\)

Vậy P = 6.

0,25