Cho phương trình x^2 − 3 x + 1 = 0 có hai nghiệm dương x1 , x2

\[P = \frac{{\left| {7{x_2} - 3x_1^2} \right|}}{{x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}}}\].

Xét phương trình \[{x^2} - 3x + 1 = 0\]

Ta có:

\(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4\,\, \cdot \,\,1\)

\(\Delta  = 5 > 0\) phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}\], \[{x_2}\].

Áp dụng định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}\,\, \cdot \,\,{x_2} = 1\end{array} \right.\) nên phương trình có có hai nghiệm dương \[{x_1}\], \[{x_2}\]

Khi đó ta có:

Đặt \[A = 7{x_2} - 3x_1^2\]; \[B = 7{x_1} - 3x_2^2\]

\[A + B = \left( {7{x_2} - 3x_1^2} \right) + \left( {7{x_1} - 3x_2^2} \right)\]

\[A + B = 7\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 3\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\]

\[A + B = 7\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 3\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}\,\, \cdot \,\,{x_2}} \right]\]

\[A + B = 7\,\, \cdot \,\,3 - 3\left( {{3^2} - 2\,\, \cdot \,\,1} \right)\]

\[A + B = 0\] hay \[A =  - B\]

Suy ra: \[\left| A \right| = \left| B \right|\]

\[{A^2} = \left| A \right|\,\, \cdot \,\,\left| B \right|\]

\[{A^2} = \left| {7{x_2} - 3x_1^2} \right|\,\, \cdot \,\,\left| {7{x_1} - 3x_2^2} \right|\]

\[{A^2} = \left| {49{x_1}{x_2} - 21\left( {x_1^3 + x_2^3} \right) + 9x_1^2\,\, \cdot \,\,x_2^2} \right|\]

\[{A^2} = \left| {49{x_1}{x_2} - 21\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) + 9{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}} \right|\]

\[{A^2} = \left| {49{x_1}{x_2} - 21\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] + 9{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}} \right|\]

\[{A^2} = \left| {49\,\, \cdot \,\,1 - 21\,\, \cdot \,\,1\,\, \cdot \,\left( {{3^2} - 3\,\, \cdot \,\,1} \right)\, + 9\,\, \cdot \,\,{1^2}} \right|\]

\[{A^2} = \left| {320} \right|\]

\[\left| A \right| = 8\sqrt 5 \]

\[P = \frac{{\left| {7{x_2} - 3x_1^2} \right|}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}}}\]

\[P = \frac{{8\sqrt 5 }}{{{3^2} - 1}}\]

Vậy \[P = \sqrt 5 \].