Cho phương trình: x^2 + (3 − 2m)x − 4 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho (1 − x1^2)(1 − x2^2) − 2x1 − 2x2 = 10.

11

(1,0đ)

Xét phương trình: \({x^2} + (3 - 2m)x - 4 = 0\)

Ta có: \(ac =  - 4 < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.\({x_1};\,{x_2}\) với mọi \(m\)

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 3\;\;\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} =  - 4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo bài ra, ta có: \(\left( {1 - x_1^2} \right)\left( {1 - x_2^2} \right) - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\)

                          \( \Leftrightarrow 1 - \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + {({x_1}{x_2})^2} - 2({x_1} + {x_2}) = 10\)  

                          \( \Leftrightarrow 1 - {({x_1} + {x_2})^2} + 2{x_1}{x_2} + {({x_1}{x_2})^2} - 2({x_1} + {x_2}) = 10\)  

Thay (1) và (2) ta được: \(1 - {(2m - 3)^2} + 2.( - 4) + {( - 4)^2} - 2.(2m - 3) = 10\)

\( \Leftrightarrow  - 4{m^2} + 8m + 6 = 10\)

\( \Leftrightarrow \)\( - {(2m - 2)^2} + 10 = 10\)

\( \Leftrightarrow \)\({(2m - 2)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \)\(m = 1\)

 Vậy \(m = 1\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

0,25

0,25

0,25

0,25