Cho phương trình x^2 − 2x + m − 1 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1^2 + x2^2 − x1x2 = 12.

Cho phương trình \[{x^2} - 2x{\rm{  + }}\,m - {\rm{ }}1 = 0\] (\[m\]là tham số).

Ta có:

\(\Delta  = {\left( { - 2} \right)^2} - 4\,.\;1\,.\left( {m - 1} \right)\)

\( = 8 - 4m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\,;\;{x_2}\) thì \(\Delta  > 0\)

Hay \(8 - 4m > 0\)

\(m < 2\) \(\left( * \right)\)

Với \(m < 2\)phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\,;\;{x_2}\)

Theo định lý Vi-et, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}.{x_2} = m - 1}\end{array}} \right.\)

Ta có: \[x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 12\]

\((x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2) - 3{x_1}{x_2} = 12\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 12\)

\(4 - 3\left( {m - 1} \right) = 12\)

\[m =  - \frac{5}{3}\] (thỏa mãn \(\left( * \right)\))

Vậy \(m =  - \frac{5}{3}\) thỏa mãn ycbt.