Cho phương trình x^2 − 2x − 2m^2 = 0 (1) (m là tham số). Khi đó:

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.            c) Đúng.        d) Đúng.

a) Đúng.

Với \(m = 2\) thì ta có: \({x^2} - 2x - 8 = 0\), do đó \(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\).

Do đó, \(x = 4\) hoặc \(x = - 2\).

b) Sai.

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0\) hay \({\left( { - 1} \right)^2} + 2{m^2} \ge 0\) hay \(1 + 2{m^2} \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

c) Đúng.

Vì phương trình luôn có hai nghiệm với mọi \(m\), nên từ phương trình (1), ta có định lí Viète:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - 2{m^2}\end{array} \right.\).

d) Đúng.

Có \(x_1^2 = \,4x_2^2\) suy ra \(x_1^{} = \,2x_2^{}\) hoặc \(x_1^{} = \, - 2x_2^{}\).

Trường hợp 1: \(x_1^{} = \,2x_2^{}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}3{x_2} = 2\\2x_2^2 = - 2{m^2}\end{array} \right.\), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{2}{3}\\x_2^2 = - {m^2}\end{array} \right.\) (loại do \( - {m^2} \le 0\) với mọi \(m\)).

Trường hợp 2: \(x_1^{} = \, - 2x_2^{}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} - {x_2} = 2\\ - 2x_2^2 = - 2{m^2}\end{array} \right.\), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 2\\x_2^2 = {m^2}\end{array} \right.\), suy ra \(m = 2\).