Cho phương trình x2 + 2mx + m2 = x (1) (m là tham số). Khi đó:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

x² + 2mx + m² = x

x² + 2mx – x + m² = 0

x² + (2m – 1)x + m² = 0.

Vậy phương trình (1) đưa về được phương trình x² + (2m – 1)x + m² = 0 (2).

b) Đúng.

Phương trình (2) có \(\Delta\) = (2m – 1)² – 4.1.m² = 4m² – 4m + 1 – 4m² = 1 – 4m.

Để phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂ thì 1 – 4m > 0, suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{4}.\)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi \({\rm{m}} < \frac{1}{4}.\)

c) Sai.

Xét phương trình (2):

Theo định lý Viète ta có: x₁x₂ = m²; x₁ + x₂ = –(2m – 1) = –2m + 1.

Để phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu thì x₁x₂ < 0, suy ra m² < 0.

Vì m² ≥ 0 với mọi giá trị m nên phương trình (2) không có 2 nghiệm trái dấu.

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

d) Sai.

Phương trình (2) có hai nghiệm x₁; x₂ phân biệt cùng dấu thì \(\Delta\) > 0 và x₁x₂ > 0.

Theo b) ta có: \(\Delta\) > 0 khi \({\rm{m}} < \frac{1}{4}.\)

Với x₁x₂ > 0 thì m² > 0 nên m ≠ 0.

Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì \({\rm{m}} < \frac{1}{4}\) và m ≠ 0.