Cho phương trình \[{x^2} - 2mx + {m^2} - m - 1 = 0\] (\(m\) là tham số). Tìm giá trị của

Ta có \[\Delta ' = {m^2} - ({m^2} - m - 1) = m + 1\]

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - 1\]

Theo định lí Viet ta có\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = {m^2} - m - 1\end{array} \right.\]

Ta có  \(\frac{{{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{{x_1}{x_2} + 3}}{{{{({x_1} + {x_2})}^2} + 2}} = \frac{1}{3}\)

Thay vào  ta được phương trình \(\frac{{{m^2} - m - 1 + 3}}{{{{(2m)}^2} + 2}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - m + 2}}{{4{m^2} + 2}} = \frac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow 3({m^2} - m + 2) = 4{m^2} + 2 \Leftrightarrow {m^2} + 3m - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 4\end{array} \right.\)

Đối chiếu điều kiện ta có \(m = 1\) thỏa mãn bài toán.