Cho phương trình: x^2 - 2mx + m - 2 = 0 (1) (x là ẩn số)

a) Ta có: \[\Delta  = {\left( { - 2m} \right)^2} - 4.1.\left( {m - 2} \right) = 4{m^2} - 4m + 8 = {\left( {2m - 1} \right)^2} + 7 \ge 7 > 0\,\,\forall m\].

Do đó, phương trình (1) luôn có 2 nghiệm với mọi \(m\).

b) Theo định lý Vi-et ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\].

Ta có: \[\left( {1 + {x_1}} \right)\left( {2 - {x_2}} \right) + \left( {1 + {x_2}} \right)\left( {2 - {x_1}} \right) = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2\]

\[ = 2 + 2{x_1} - {x_2} - {x_1}{x_2} + 2 + 2{x_2} - {x_1} - {x_1}{x_2}\]

\[ = 4 + {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2}\]

\[ = 4 + 2m - 2\left( {m - 2} \right) = 8\].

Và

\[{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2 = {\left( {2m} \right)^2} - 2\left( {m - 2} \right) + 2\]

\[ = 4{m^2} - 2m + 6\]

Do vậy, \[\left( {1 + {x_1}} \right)\left( {2 - {x_2}} \right) + \left( {1 + {x_2}} \right)\left( {2 - {x_1}} \right) = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2\]

\[ \Leftrightarrow 4{m^2} - 2m + 6 = 8\]

\[ \Leftrightarrow 2{m^2} - m - 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\]

Vậy giá trị của \(m\) thỏa mãn là: \[m = 1,\,\,m = \frac{{ - 1}}{2}\].