Cho phương trình x^2 + 2mx − 1 = 0 (1) (với m là tham số).

Đáp án: a) Đúng.                  b) Đúng.    c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Đối chiếu phương trình đã cho với dạng tổng quát \(a{x^2} + bx + c = 0\), ta xác định được các hệ số \(a = 1;\,\,b = 2m;\,\,c =  - 1\).

b) Đúng. Thay \(m = 2\) vào phương trình ta được \({x^2} + 4x - 1 = 0\).

Biệt thức \(\Delta \prime  = {2^2} - 1 \cdot \left( { - 1} \right) = 5\). Hai nghiệm tính được là \({x_1} = \sqrt 5  - 2,{x_2} =  - \sqrt 5  - 2\).

c) Đúng. Ta thấy tích \(a \cdot c = 1 \cdot \left( { - 1} \right) =  - 1 < 0\) với mọi tham số \(m\), nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

d) Đúng. Theo định lí Viète ta có \({x_1} + {x_2} =  - 2m\) và \({x_1}{x_2} =  - 1\).

Khi đó \(P = \frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} - {x_1} - {x_2}\)

               \( = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

             \( = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}} - \left( { - 2m} \right)\)

               \( = {\left( { - 2m} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 2m\)

               \( = 4{m^2} + 2m + 2\)

               \( = 4\left( {{m^2} + \frac{1}{2}m + \frac{1}{{16}}} \right) + \frac{7}{4}\)

               \( = 4{\left( {m + \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4}\).

Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{7}{4}\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {m + \frac{1}{4}} \right)^2} = 0\) hay \(m + \frac{1}{4} = 0\) tức là \(m =  - \frac{1}{4}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\)là \(\frac{7}{4}\) khi \(m =  - \frac{1}{4}\).