Cho phương trình x^2 - 2(m + 4)x + m^2 - 8 = 0. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1, x2 thỏa mãn A = x1 + x2 - 2x1x2 đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án: 0,5

Phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} - 8 = 0\) có biệt thức:

\(\Delta ' = {\left( {m + 4} \right)^2} - {m^2} + 8 = 8m + 24.\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) suy ra \(8m + 24 > 0\), do đó \(m > - 3.\)

Ta có hệ thức Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 4} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 8\end{array} \right.\).

Có \(A = {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2}\)

        \( = 2\left( {m + 4} \right) - 2\left( {{m^2} - 8} \right)\)

        \( = - 2{m^2} + 2m + 24\)

        \( = - 2\left( {{m^2} - m - 12} \right)\)

       \( = - 2{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{49}}{2} \ge \frac{{49}}{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi \( - 2{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0\) được \(m = \frac{1}{2}\) hay \(m = 0,5\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{{49}}{2}\) khi \(m = 0,5\).