Cho phương trình x^2 − (2m + 1)x + m^2 − 1 = 0 (m là tham số). Khi đó:

Đáp án đúng là: a) Đúng.b) Sai.          c) Sai.        d) Đúng.

a) Đúng.

Để phương trình vô nghiệm thì \(\Delta < 0\).

Ta có: \({\left[ { - \left( {2m + 1} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = 4{m^2} + 4m + 1 - {m^2} + 1 = 3{m^2} + 4m + 1\)

Suy ra \(3{m^2} + 4m + 1 < 0\) hay \(\left( {3m + 1} \right)\left( {m + 1} \right) < 0\).

Giải bất phương trình, suy ra \( - 1 < m < - \frac{1}{3}\).

b) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0\).

Ta có: \({\left[ { - \left( {2m + 1} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = 4{m^2} + 4m + 1 - {m^2} + 1 = 3{m^2} + 4m + 1\)

Suy ra \(3{m^2} + 4m + 1 > 0\), suy ra \(m < - 1\) hoặc \(m > - \frac{1}{3}\).

c) Sai.

Với thì \(m < - 1\) hoặc \(m > - \frac{1}{3}\) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó, áp dụng định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\).

d) Đúng.

Ta có: \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + {m^2}} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 1\)

         \(\left[ {x_1^2 - \left( {{x_1} + {x_2} - 1} \right){x_1} + {x_1}{x_2} + 1} \right]\left( {{x_2} + 1} \right) = 1\)

         \(\left( {x_1^2 - x_1^2 - {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_1}{x_2} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 1\)

         \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 1\)

         \({x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 - 1 = 0\)

         \({m^2} - 1 + 2m + 1 = 0\)

         \({m^2} - 2m = 0\)

         \(m\left( {m - 2} \right) = 0\)

Suy ra \(m = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(m = 2\) (thỏa mãn)