Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1) (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn \(\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} = 6\) nên x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.

b) Sai.

Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = [–(m + 1)]² – 4m = m² + 2m + 1 – 4m = (m – 1)².

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt không âm thì \(\Delta\)’ > 0; x₁ + x₂ ≥ 0; x₁.x₂ ≥ 0.

+ Với \(\Delta\)’ > 0 thì (m – 1)² > 0 nên m – 1 ≠ 0, suy ra m ≠ 1 (*).

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 2m + 2; x₁x₂ = 4m.

+ Với x₁ + x₂ ≥ 0 thì 2m + 2 ≥ 0 nên m ≥ –1 (**).

+ Với x₁x₂ ≥ 0 thì 4m ≥ 0 nên m ≥ 0 (***).

Từ (*), (**) và (***) ta có: m ≥ 0, m ≠ 1 (3).

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt không âm khi m ≥ 0, m ≠ 1.

c) Đúng.

\(\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} = \sqrt 2 \)

\({\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right)^2} = 2\)

\({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\).

Vậy phương trình (2) biến đổi được về phương trình \({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\).

d) Đúng.

Thay x₁ + x₂ = 2m + 2; x₁x₂ = 4m vào phương trình \({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\) ta có:

\(2{\rm{m}} + 2 + 2\sqrt {4{\rm{m}}} - 2 = 0\)

\({\rm{m}} + 2\sqrt {\rm{m}} = 0\)

\(\sqrt {\rm{m}} \left( {1 + 2\sqrt {\rm{m}} } \right) = 0\)

m = 0 (thỏa mãn (3)) hoặc \(1 + 2\sqrt {\rm{m}} = 0\) (vô lí vì m ≥ 0, m ≠ 1).

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.