Cho phương trình x^2 − (2m + 1)x − 3 = 0 (*). Tìm các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 < x2 thỏa mãn |x1| − |x2| = 5.

Phương trình: \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0\) (*).

Ta có \(a \cdot c = 1 \cdot \left( { - 3} \right) =  - 3 < 0\).

Do đó, phương trình \((*)\) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu \({x_1},{x_2}\) với mọi giá trị của \(m\).

Theo đề bài \({x_1} < {x_2}\), mà hai nghiệm trái dấu nên ta có: \({x_1} < 0\) và \({x_2} > 0\).

Từ đó suy ra: \[\left| {{x_1}} \right| =  - {x_1}\] và \(\left| {{x_2}} \right| = {x_2}\).

Theo yêu cầu bài toán: \(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = 5\)

\( - {x_1} - {x_2} = 5\)

\( - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 5\)

\({x_1} + {x_2} =  - 5\) \((1)\)

Theo định lý Viète, ta có:  \((2)\).

Từ \((1)\) và \((2)\) ta có: \(2m + 1 =  - 5\) hay \(2m =  - 6\) suy ra \(m =  - 3\).

Vậy để phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn bài toán thì  cần tìm là \(m =  - 3\).