Cho phương trình x^2 − ( 2m + 1 ) x + 4m − 2 = 0 (với m là tham số).

a) Với \(m = 2\) phương trình đã cho trở thành 

\({x^2} - 5x + 6 = 0\).

\(\Delta  = 1 > 0\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} = 2\)

\({x_2} = 3\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  \({x_1} = 2\), \({x_2} = 3\).

b) \(\Delta  = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {4m - 2} \right)\)\( = {\left( {2m - 3} \right)^2}\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta  > 0\)

\({\left( {2m - 3} \right)^2} > 0\)

\(2m - 3 \ne 0\)

\(m \ne \frac{3}{2}\).

Với \(m \ne \frac{3}{2}\) phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\).

Theo định lý Viète, ta có:

\({x_1} + {x_2} = 2m + 1\)  (1)

\({x_1}{x_2} = 4m - 2\)    (2)

Ta có: \(T = \left( {1 + x_1^2} \right).\left( {1 + x_2^2} \right)\)

\( = x_1^2 + x_2^2 + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} + 1\)

\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} + 1\)   (3)

Thay (1) và (2) vào (3) ta được:

\(T = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 2\left( {4m - 2} \right) + {\left( {4m - 2} \right)^2} + 1\)

\( = 4{m^2} + 4m + 1 - 8m + 4 + 16{m^2} - 16m + 4 + 1\)

\( = 20{m^2} - 20m + 10\)

\( = 20{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + 5\)

Ta có \({\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall m\) nên \(T = 20{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + 5 \ge 5,\forall m\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\) bằng \(5\) khi \(m = \frac{1}{2}\).