Cho phương trình x^2 − 2(3m + 2)x + 2m^2 − 2m − 5 = 0 (1) với m là tham số. Khi đó:

Đáp án đúng là: a) Đúng.                     b) Sai.                c) Đúng.d) Đúng.

a) Đúng.

Với \(m = - 2\) thì phương trình có dạng: \({x^2} + 8x + 7 = 0\).

Suy ra \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 7} \right) = 0\), do đó \(x = - 1;\,\,x = - 7\).

Do đó, với \(m = - 2\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Sai.

Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta ' = 0\).

\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {3m + 2} \right)} \right]^2} - 2{m^2} + 2m + 5 = 9{m^2} + 12m + 4 - 2{m^2} + 2m + 5 = 7{m^2} + 14m + 9\).

Ta có: \(7{m^2} + 14m + 9 = 0\) vô nghiệm vì \({7^2} - 7 \cdot 9 = 49 - 63 = - 14 < 0\).

Do đó, không có giá trị của \(m\) để phương trình có nghiệm kép.

c) Đúng.

Để phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\), ta có: \(\Delta ' \ge 0\)

Mà \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {3m + 2} \right)} \right]^2} - 2{m^2} + 2m + 5 = 9{m^2} + 12m + 4 - 2{m^2} + 2m + 5 = 7{m^2} + 14m + 9\).

Ta có: \(7{m^2} + 14m + 9 = 7\left( {{m^2} + 2m + 1 + \frac{2}{7}} \right) = 7{\left( {m + 1} \right)^2} + 2 > 0\) với mọi \(m\).

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\).

d) Đúng.

Vì \(x = - 1\) là nghiệm của phương trình nên thay vào, ta được:

\({\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( {3m + 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 2{m^2} - 2m - 5 = 0\)

\(1 + 6m + 4 + 2{m^2} - 2m - 5 = 0\)

\(2{m^2} + 4m = 0\)

\(2m\left( {m + 2} \right) = 0\)

Do đó, \(m = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(m = - 2\) (thỏa mãn)