Cho phương trình x^2 + 2(2m + 1)x – 4m^2 – 1 = 0. a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m. b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộ

a) Phương trình đã cho có:

∆ = 4(2m + 1)² ‒ 4.(‒4m² ‒ 1) = 4(2m + 1)² + 16m² + 4.

Với mọi m, ta có: (2m + 1)² ≥ 0 và 16m² ≥ 0

Suy ra 4(2m + 1)² + 16m² + 4 >0 với mọi m hay ∆ >0 với mọi m.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète ta có:

x₁ + x₂ = ‒2(2m + 1) = ‒4m ‒2 và x₁x₂ = ‒4m² ‒1.

⦁ Từ x₁ + x₂ = ‒4m ‒2 ta có ‒4m = x₁ + x₂ + 2 nên \[m = \frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}.\]

Suy ra \[{m^2} = {\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}} \right)^2}\]

⦁ Từ x₁x₂ = ‒4m² ‒1, suy ra ‒4m² = x₁x₂ + 1, suy ra \[{m^2} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}.\]

Khi đó, ta có:\[{\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{ - 4}}} \right)^2} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}\]

\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( { - 4} \right)}^2}}} = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{{ - 4}}\]

\[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)}^2}}}{{ - 4}} = {x_1}{x_2} + 1\]

(x₁ + x₂ + 2)² + 4x₁x₂ + 4 = 0.

Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào giá trị của m là:

(x₁ + x₂ + 2)² + 4x₁x₂ + 4 = 0.