Cho phương trình x^2 − 2 mx + 2m − 3 = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x1)^2 + (x2)^2 , trong đó x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình.

Ta có \(a = 1;b =  - 2\;m \Rightarrow \;b' =  - m;c = 2\;m - 3\). Phương trình đã cho có nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 0}\\{\Delta ' \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ne 0}\\{{{\left( { - m} \right)}^2} - \left( {2m - 3} \right) \ge 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 2 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(m\) vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m\)) Vậy \(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\left( {2m - 3} \right) = 4{m^2} - 4m + 6 = \left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) + 5n\)

\( = {(2m - 1)^2} + 5 \ge 5;\forall m\left( {{{(2m - 1)}^2} \ge 0,\forall m} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Chú ý: Nếu ta không đặt điều kiện phương trình có nghiệm thì vẫn đúng đáp số, nhưng lời giải như vậy chưa chính xác.