Cho phương trình x^2 − 2 ( m + 4 ) x + m^2 − 8 = 0 . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x 1 ; x 2 thỏa mãn A = x 1 + x 2 − 3 x 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án: \(\frac{1}{3}\)

Phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} - 8 = 0\) có biệt thức:

\(\Delta ' = {\left( {m + 4} \right)^2} - {m^2} + 8 = 8m + 24.\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) suy ra \(8m + 24 > 0\), do đó \(m > - 3.\)

Ta có hệ thức Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 4} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 8\end{array} \right.\).

Có \(A = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}\)

\( = 2\left( {m + 4} \right) - 3\left( {{m^2} - 8} \right)\)

\( = - 3{m^2} + 2m + 32\)

\( = - 3\left( {{m^2} - \frac{2}{3}m - \frac{{32}}{3}} \right)\)

\( = - 3{\left( {m - \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{9} \ge \frac{{97}}{9}\).

Dấu “=” xảy ra khi \( - 3{\left( {m - \frac{1}{3}} \right)^2} = 0\) hay \(m = \frac{1}{3}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{{97}}{9}\) khi \(m = \frac{1}{3}\).