Cho phương trình x2 – 2(m – 4)x – 8m = 0 (1) (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Tìm giá trị của m để biểu thức \({\rm{A}} = {\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải thích
Đáp án: 2
Ta có: \(\Delta\)’ = [–(m – 4)]2 – 1.(–8m) = m2 – 8m + 16 + 8m = m2 + 16 > 0 với mọi m.
Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = 2(m – 4) = 2m – 8; x1x2 = –8m.
Ta có: \({\rm{A}} = {\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}.\)
Thay x1 + x2 = 2m – 8; x1x2 = –8m vào A ta có:
A = (2m – 8)2 – 2(–8m)
= 4m2 – 32m + 64 + 16m
= 4m2 – 16m + 64 = (2m – 4)2 + 48 ≥ 48 với mọi m.
Dấu “=” xảy ra khi 2m – 4 = 0, suy ra m = 2.
Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.