Cho phương trình x^2 − 2 ( m − 1 )x + m − 3 = 0 ( m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

a) ${\Delta }^{\text{'}}={\left[-\left(m-1\right)\right]}^2-1.\left(m-3\right)=m^2-3m+4={\left(m-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0$ $\forall m$

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\2{x_1}{x_2} = 2m - 6\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2} - 4 = 0\) không phụ thuộc vào \(m\).

c) \(P = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {m - 3} \right)\)

\( = {\left( {2m - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} \ge \frac{{15}}{4}\), \(\forall m\)

Do đó \({P_{\min }} = \frac{{15}}{4}\) và dấu  xảy ra khi \(2m - \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\)

Vậy \({P_{\min }} = \frac{{15}}{4}\) với \(m = \frac{5}{4}\).